LOGARITMOS

LOS LOGARITMOS

Los logaritmos son otra manera de pensar en exponentes.

Por ejemplo, sabemos que $\blueD2$start color blueD, 2, end color blueD elevado a la $\greenE4^\text{a}$start color greenE, 4, end color greenE, start superscript, a, end superscript potencia es igual a $\goldD{16}$start color goldD, 16, end color goldD. Esto se expresa con la ecuación exponencial $\blueD2^\greenE4=\goldD{16}$start color blueD, 2, end color blueD, start superscript, start color greenE, 4, end color greenE, end superscript, equals, start color goldD, 16, end color goldD.

Ahora supongamos que nos preguntan: "¿$\blueD2$start color blueD, 2, end color blueD elevado a qué potencia es igual a $\goldD{16}$start color goldD, 16, end color goldD?" La respuesta sería: $\greenE4$start color greenE, 4, end color greenE. Esto se expresa con la ecuación logarítmica$\log_\blueD2(\goldD{16})=\greenE4$log, start subscript, start color blueD, 2, end color blueD, end subscript, left parenthesis, start color goldD, 16, end color goldD, right parenthesis, equals, start color greenE, 4, end color greenE (y se lee como "log base dos de dieciseis es cuatro").

$\Large \blueD2^\greenE4=\goldD{16}\quad\iff\quad\log_\blueD2(\goldD{16})=\greenE4$

Ambas ecuaciones describen la misma relación entre los números $\blueD2$start color blueD, 2, end color blueD, $\greenE4$start color greenE, 4, end color greenE, y $\goldD{16}$start color goldD, 16, end color goldD; donde $\blueD2$start color blueD, 2, end color blueD es la base y $\greenE4$start color greenE, 4, end color greenE es el exponente.

La diferencia es que la forma exponencial aísla la potencia $\goldD{16}$start color goldD, 16, end color goldD, y la forma logarítmica aísla el exponente $\greenD 4$start color greenD, 4, end color greenD.

He aquí más ejemplos de ecuaciones logarítmicas y exponenciales equivalentes.

Forma logarítmica		Forma exponencial
$\log_\blueD2(\goldD{8})=\greenD3$log, start subscript, start color blueD, 2, end color blueD, end subscript, left parenthesis, start color goldD, 8, end color goldD, right parenthesis, equals, start color greenD, 3, end color greenD	$\iff$	$\blueD2^\greenD3=\goldD8$start color blueD, 2, end color blueD, start superscript, start color greenD, 3, end color greenD, end superscript, equals, start color goldD, 8, end color goldD
$\log_\blueD3(\goldD{81})=\greenD4$log, start subscript, start color blueD, 3, end color blueD, end subscript, left parenthesis, start color goldD, 81, end color goldD, right parenthesis, equals, start color greenD, 4, end color greenD	$\iff$	$\blueD3^\greenD4=\goldD{81}$start color blueD, 3, end color blueD, start superscript, start color greenD, 4, end color greenD, end superscript, equals, start color goldD, 81, end color goldD
$\log_\blueD5(\goldD{25})=\greenD2$log, start subscript, start color blueD, 5, end color blueD, end subscript, left parenthesis, start color goldD, 25, end color goldD, right parenthesis, equals, start color greenD, 2, end color greenD	$\iff$	$\blueD5^\greenD2=\goldD{25}$start color blueD, 5, end color blueD, start superscript, start color greenD, 2, end color greenD, end superscript, equals, start color goldD, 25, end color goldD

Definición de un logaritmo

Al generalizar los ejemplos anteriores obtenemos la definición formal de un logaritmo.

$\Large\log_\blueD b(\goldD a)=\greenD c\quad \iff\quad \blueD b^\greenD c=\goldD a$

Ambas ecuaciones describen la misma relación entre $\goldD a$start color goldD, a, end color goldD, $\blueD b$start color blueD, b, end color blueD, y $\greenE c$start color greenE, c, end color greenE:

• $\blueD b$start color blueD, b, end color blueD es la $\blueD{\text{base}}$start color blueD, b, a, s, e, end color blueD,
• $\greenE c$start color greenE, c, end color greenE es el $\greenE{\text{exponente}}$start color greenE, e, x, p, o, n, e, n, t, e, end color greenE, y
• $\goldD a$start color goldD, a, end color goldD es el $\goldD{\text{valor de entrada}}$start color goldD, v, a, l, o, r, space, d, e, space, e, n, t, r, a, d, a, end color goldD.

Una observación útil

Al reescribir una ecuación exponencial en forma de log, o una ecuación de log en forma exponencial, es útil recordar que la base del logaritmo es la misma que la base del exponente.

Propiedades de los logaritmos

En esta página vamos a enunciar las propiedades de los logaritmos y a emplearlas para resolver 21 ejercicios. Tenemos dos tipos de ejercicios:

• $14$ ejercicios de escribir las operaciones (sumas y restas) como un solo logaritmo y
• $7$ ejercicios de calcular el resultado de las operaciones entre logaritmos.

No demostraremos las propiedades ni utilizaremos la propiedad del cambio de base porque tenemos páginas dedicadas a ello:

• Demostración de las propiedades de los logaritmos (al final de la página).
• Cambio de base

En los ejercicios podréis comprobar cuán útiles resultan las propiedades de los logaritmos. Lo son tanto que también las empleamos, por ejemplo, para resolver ecuaciones exponenciales.

Logaritmo del producto

$$\log (a\cdot b)=\log \left(a\right)+\log \left(b\right)$$

El logaritmo de un producto de factores es la suma de los logaritmos de los factores.

Ejemplo

Logaritmo del cociente

$$\log \left(\frac{a}{b}\right)=\log \left(a\right)-\log \left(b\right)$$

El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos del numerador y del denominador.

Ejemplo

Logaritmo de la potencia

$$\log \left(a^b\right)=b\cdot \log \left(a\right)$$

El logaritmo de una potencia es el producto del exponente de la potencia por el logaritmo de la base.

Ejemplo

Finalmente, vamos a escribir la fórmula del cambio de base como una propiedad por su utilidad:

Cambio de base

$${\log }_b\left(a\right)=\frac{{\log }_c\left(a\right)}{{\log }_c\left(b\right)}$$

Ejemplo

Y también vamos a escribir una propiedad que no es más que la propia definición del logaritmo:

Propiedad

$$b^{{\log }_b\left(a\right)}=a$$

Ejemplo

Importante

Para aplicar las propiedades de los logaritmos, sus bases tienen que ser iguales. Por ejemplo, una suma de logaritmos se puede escribir como el logaritmo de un producto sólo si la base de los logaritmos es la misma.

Ejemplo

Ejercicios de aplicación

Las propiedades del logaritmo se cumplen independientemente de la base del logaritmo. Por tanto, no vamos a indicar la base de los logaritmos en los ejercicios ya que no es relevante.

El resultado final de los ejercicios debe ser un único logaritmo.

Ejercicio 1

$$\log \left(3\right)+\log \left(5\right)$$

Solución

La suma de logaritmos es el logaritmo del producto:
$$\log \left(3\right)+\log \left(5\right)=$$
$$=\log (3\cdot 5)=$$
$$=\log \left(15\right)$$

Ejercicio 2

$$\log \left(15\right)-\log \left(3\right)$$

Solución

La resta de los logaritmos es el logaritmo del cociente (el argumento del logaritmo que resta es el que queda en el denominador):
$$\log \left(15\right)-\log \left(3\right)=$$
$$=\log \left(\frac{15}{3}\right)=$$
$$=\log \left(5\right)$$

Ejercicio 3

$$\log \left(15\right)+\log \left(2\right)-\log \left(5\right)$$

Solución

Primero escribimos la suma de logaritmos como el logaritmo de un producto y, después, la resta de logaritmos como el logaritmo de un cociente:
$$\log \left(15\right)+\log \left(2\right)-\log \left(5\right)=$$
$$=\log (15\cdot 2)-\log \left(5\right)=$$
$$=\log \left(30\right)-\log \left(5\right)=$$
$$=\log \left(\frac{30}{5}\right)=$$
$$=\log \left(6\right)$$

Ejercicio 4

$$\log \left(2\right)-\log \left(3\right)+\log \left(15\right)$$

Solución

Escribimos la resta de logaritmos como el logaritmo de un cociente y la suma de logaritmos como el logaritmo de un producto:
$$\log \left(2\right)-\log \left(3\right)+\log \left(15\right)=$$
$$=\log \left(\frac{2}{3}\right)+\log \left(15\right)=$$
$$=\log \left(\frac{2}{3}\cdot 15\right)=$$
$$=\log \left(10\right)$$
Observad que hemos simplificado la fracción del argumento del logaritmo:
$$\frac{2}{3}\cdot 15=2\cdot 5=10$$