PROGRESIONES GEOMETRICAS

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 

Progresiones geométricas

Otra forma común de sucesión es la constituida por las llamadas progresiones geométricas. Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón.

El término general a_n de una progresión geométrica puede escribirse como:

a_n = a₁ × r^n-1

Suma y producto de los términos de una progresión geométrica

La suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica puede calcularse a partir de cualquiera de las siguientes expresiones:

Esta fórmula sólo es válida si r ¹ 1, ya que si r = 1 todos los términos de la progresión serían iguales, y la suma sería S_n = a₁ × n.

Cuando r > 1, la progresión crece indefinidamente y la suma de sus términos tiende a infinito. En cambio, si r < 1, cada término será menor que el anterior, y la progresión se irá acercando a 0 conforme aumente el número de sus términos. Cuando | r | < 1, puede demostrarse que la suma se convierte en:

Por otra parte, es fácil obtener que el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es igual a:

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Entre dos términos a y b de una progresión geométrica es posible intercalar m términos, denominados medios geométricos o proporcionales, tales que todos ellos (los m + 2 términos resultantes) constituyan una nueva progresión geométrica de razón r determinada como: