PROGRESIONES ARITMÉTICAS

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos

Para encontrar el término general de una progresión aritmética consideramos la fórmula que define a estas progresiones:(an+1-an=d)

Esta igualdad nos expresa que, en las progresiones aritméticas cada término se obtiene sumando la diferencia al anterior. Así, podemos definir la progresión de forma recursiva y tenemos que

Ejemplos:

an = a1 + (n - 1) d.

Esta expresión nos relaciona cualquier término de la sucesión con el primero a través de la diferencia de la progresión.

Queremos encontrar qué número ocupa la posición  en la sucesión

(8,11,14,17,20)

observamos que se trata de una progresión aritmética porque la diferencia entre todos los términos es constante e igual a .

Como el primer término es , y la diferencia es , nos queda que:

an=8+(n-1).3

Como queremos encontrar el término , tenemos que:

a37=8+(37-1).3=8+3.36=8+108=116

SUMA DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Cuando decimos suma de los términos de una progresión aritmética nos referimos, en realidad, a la suma de una serie de términos consecutivos. También suele hablarse de la suma de los enésimos primeros términos de una progresión aritmética. Es decir, la suma de todos los términos que van desde a₁ a a_n, ambos inclusive. Pero como vimos en el apartado anterior, podemos trabajar con una sección de una progresión aritmética como si fuera una nueva sucesión con las mismas propiedades. Por lo que también es posible sumar los términos consecutivos que van desde a_k a a_n, siendo n > k. Luego veremos cómo. Ahora retomemos el famoso problema que le “propusieron” a Gauss cuando niño.

Ejemplo 1. ¿Cuánto suman los números del 1 al 100?

Nos piden que hallemos la suma de 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100. Según algunas versiones, Gauss realizó un planteamiento parecido al siguiente.

Sea S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100, es posible ordenar los sumados de dicha igualdad de mayor a menor y luego sumar ambas igualdades.

Las sumas del lado derecho de la igualdad resultante se pueden expresar como producto, y despejando S nos queda:

Para conseguir una fórmula que nos permita sumar los términos de una progresión aritmética podemos aprovechar el planteamiento anterior.

De esta forma, siendo S = a1 + a2 + a3 +  … + an-2 + an-1 + an, la suma de los enésimos primeros términos de una progresión aritmética, al igual que antes, podemos ordenar dichos sumandos de mayor a menor y sumar ambas igualdades.

Aplicando la segunda propiedad de las progresiones aritméticas, que vimos en el apartado Definición, todas esas sumas que aparecen en la tercera igualdad son la suma de los extremos, a1 + an.

2S = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

Al igual que hicimos en el problema de ejemplo, las sumas del lado derecho pueden ser expresadas como un producto; en este caso, en lugar de 100, tenemos n sumandos. Y despejando S nos queda la fórmula que buscábamos. La tienes en el siguiente subapartado.

4.1.2. FÓRMULA

La siguiente fórmula nos permite calcular la suma de los enésimos primeros términos en función de a1 y an.

4.2. Fórmula para S en función de a1 y d

4.2.1. DESARROLLO

Como an = a1 + (n – 1) ∙ d, podemos sustituir la expresión anterior por an en la fórmula que acabamos de ver y, operando, llegamos a esta otra en la que no necesitamos conocer y, operando, llegamos a otra en la que no necesitamos conocer an. Observemos cómo.

Solo queda simplificar la primera fracción y conseguimos la fórmula que te ofrecemos en el siguiente subapartado.

4.2.2. FÓRMULA